DirectX：仿射变换

Tag DirectX下的博客主要用于记录DirectX的学习过程，主要参考《DirectX 12 3D 游戏实战开发》。本篇主要是顺着DX12龙书的节奏温习线性代数中的仿射变换。

仿射变换#

仿射变换是在线性变换的基础上加入平移变换得到的。之前线性变换的对象都是3维向量，向量只表示方向，对向量作平移是没有意义的，因此平移只能作用于点。齐次坐标表示法可以统一对点和向量的平移变换。

齐次坐标#

在普通3维坐标的基础上加入第四维w即构成齐次坐标。参考《3D数学基础：图形与游戏开发》，可以通过“投影”来理解齐次坐标。先考虑2D的齐次坐标（x，y，w），截取w=1处的平面，对坐标系内的点作关于原点的透视投影，投影之后的坐标值为（x/w，y/w，1）。而当w=0时，除零可以看作趋于无穷，即形如（x，y，0）的点在无穷远处，此时我们用它来表示方向。类比2维，可以推出3维的情况，截取w=1处的超平面作投影即可。类似地，我们可以用（x，y，z，1）表示点，用（x，y，z，0）表示向量。

仿射变换#

仿射变换即在线性变换的基础上增加一个平移变换，通常用下式表示：

$$\alpha(\vec u)=\tau(\vec u)+\vec b，\vec b为平移向量$$

又或者：（其中，M为线性变换矩阵，b为平移变换向量）

$$\alpha(\vec u)=\vec u\times M+\vec b=[x,y,z]\times \begin{bmatrix} A_{11}&A_{12}&A_{13}\\ A_{21}&A_{22}&A_{23}\\ A_{31}&A_{32}&A_{33} \end{bmatrix} +[b_x,b_y,b_z]=[x\prime,y\prime,z\prime]$$

我们把仿射变换矩阵记为A，同时，记线性变换矩阵为M`，平移向量为b，采用如下方式扩展M：

$$M\prime= \begin{bmatrix} M&0\\ 0&1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} A_{11}&A_{12}&A_{13}&0\\ A_{21}&A_{22}&A_{23}&0\\ A_{31}&A_{32}&A_{33}&0\\ 0&0&0&1 \end{bmatrix}$$

采用这种表示的好处是，他可以保留线性变换的正确结果，同时又不会改变w。

在齐次坐标中，采用如下矩阵B表示平移向量：

$$B= \begin{bmatrix} I&0\\ \vec b&1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1&0&0&0\\ 0&1&0&0\\ 0&0&1&0\\ b_x&b_y&b_z&1 \end{bmatrix}$$

同时还有：

$$\begin{aligned} &[x,y,z,1]\times\begin{bmatrix} 1&0&0&0\\ 0&1&0&0\\ 0&0&1&0\\ b_x&b_y&b_z&1 \end{bmatrix}=[x+b_x,y+b_y,z+b_z,1]\\ &[x,y,z,0]\times\begin{bmatrix} 1&0&0&0\\ 0&1&0&0\\ 0&0&1&0\\ b_x&b_y&b_z&1 \end{bmatrix}=[x,y,z,0] \end{aligned}$$

这正是平移的结果。同时，根据平移的性质容易得到其逆变换矩阵为：

$$B^{-1}= \begin{bmatrix} 1&0&0&0\\ 0&1&0&0\\ 0&0&1&0\\ -b_x&-b_y&-b_z&1 \end{bmatrix}$$

找到线性变换和平移变换对应的齐次矩阵之后，直接组合便可以得到仿射变换的矩阵：

$$A=M\prime\times B= \begin{bmatrix} A_{11}&A_{12}&A_{13}&0\\ A_{21}&A_{22}&A_{23}&0\\ A_{31}&A_{32}&A_{33}&0\\ 0&0&0&1 \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} 1&0&0&0\\ 0&1&0&0\\ 0&0&1&0\\ b_x&b_y&b_z&1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} A_{11}&A_{12}&A_{13}&0\\ A_{21}&A_{22}&A_{23}&0\\ A_{31}&A_{32}&A_{33}&0\\ b_x&b_y&b_z&1 \end{bmatrix}$$

用分块法表示为：

$$A= \begin{bmatrix} M&0\\ \vec b&1 \end{bmatrix}$$

但其实仿射变换矩阵的推导过程比较复杂，不过结果的形式很简单。

组合变换#

也就是把缩放、旋转、平移变换组合为一个变换，通过矩阵乘法可以方便的实现。在对多物体进行同一系列变换时，可以提升效率。通常变换的连接顺序为缩放（Scale）、旋转（Rotate）、平移（Transform）。通过变换，也可以更形象地理解矩阵乘法为什么一般不满足交换律：先旋转再平移与先平移再旋转的结果往往是不同的。