AtCoder Beginner Contest 197 F - Construct a Palindrome

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题目大意

给定 $N$ 个点 $M$ 条边，每条边都对应一个小写字母

问是否存在一条从 $1$ 到 $N$ 的路径，使得路径上的字母构成的字符串为回文串

• 若存在则输出回文串的最短长度
• 若不存在则输出 $-1$

解题思路

考虑双向 $bfs + dp$ （以 $dp$ 来思考会好理解许多）

从 $1$ ~ $n$ 的路径构成回文相当于：

• 从 $1$ ~ $i$ 的路径和从 $i$ ~ $n$ 的路径构成回文

或

• 从 $1$ ~ $i$ 的路径和从 $j$ ~ $n$ 的路径构成回文，其中 $i、j$相邻

于是可以定义 $dp[i][j]$ 来判断从$1$ 到 $i$ 的路径和从 $n$ 到 $j$ 的路径是否构成回文

• $dp[i][j] = 1$ 表示构成回文串
• $dp[i][j] = 0$ 表示不构成回文串

有点类似从两头一起出发往中间靠的区间 $dp?$

起初一头在 $1$ 号点，另一头在 $N$ 号点

起初 $1$~$1$ 之间没有路径，$N$~$N$ 之间也没有路径

所以初始化 $dp[1][n] = 1$，并把 $(1,n)$ 打包存入队列进行双向 $bfs$

在 $bfs$ 的过程中：

• 当 $i = j$ 或 $i、j$ 相邻时更新答案
• 当 $i$ 的相邻边和 $j$ 的相邻边相同时，定义 $i$ 的相邻节点为 $ii$，$j$ 的相邻节点为 $jj$，那么可由 $dp[i][j] = 1$ 推出 $dp[ii][jj] = 1$，然后把 $(ii,jj)$ 打包存入队列继续 $bfs$

AC_Code

#include<bits/stdc++.h>
#define fi first
#define se second
using namespace std;
const int N = 1e3 + 10;
int n , m , mp[N][N] , dp[N][N]; 
vector<int>G[N][30]; 
signed main()
{
	cin >> n >> m ;
	for(int i = 1 ; i <= m ; i ++)
	{
		int u , v;
		char ch;
		cin >> u >> v >> ch;
		G[u][ch - 'a'].push_back(v);
		G[v][ch - 'a'].push_back(u);
		mp[u][v] = mp[v][u] = 1;
	}
	int res = 1e9;
	queue<pair<pair<int , int> , int>>que;
	que.push(make_pair(make_pair(1 , n) , 0));
	dp[1][n] = 1;
	while(!que.empty())
	{
		pair<pair<int , int> , int>q = que.front();
		que.pop();
		int x = q.fi.fi , y = q.fi.se , z = q.se;
		if(z > res) break ;
		if(x == y) res = min(res , z);
		if(mp[x][y]) res = min(res , z + 1);
		for(int k = 0 ; k <= 25 ; k ++)
		{
			for(auto i : G[x][k])
			{
				for(auto j : G[y][k])
				{
					if(dp[i][j]) continue ;
					dp[i][j] = 1;
					que.push(make_pair(make_pair(i , j) , z + 2));
				}
			}
		}
	}
	if(res == 1e9) res = -1;
	cout << res << '\n';
	return 0;
}