11.15杂题选做

P3298 [SDOI2013]泉

本来是一个可以一遍切的题。然而数组开小就。。。。

发现 $N$ 不是特别大，并且泉水只有 6 种，于是我们可以暴力枚举每一种选择情况，然后统计相同的个数计入答案。

发现会算重复，重复的部分直接二项式反演解决掉。200紫题祭 (code)

P4211 [LNOI2014]LCA

树链剖分+线段树或者树状数组。。

对于每一个询问而言，一个结点的贡献其实就是子树内在 $[l,r]$ 这个区间中的节点数，这个东西直接树链剖分。

发现对于每个询问都搞一次的话复杂度不如暴力，再观察一下，我们维护的其实是一个类似于前缀性质的东西。

于是直接将一个区间拆分成两个区间贡献相减的形式。。不得不说树链剖分和树状数组常数实在是小(code)

CF297E Mystic Carvings

题目藐视不太清楚，大概就是从若干个边中选择三条，在这三条边的两个端点分别建立熊洞，定义两点之间的距离为经过顺着圆或者无向边经过的熊洞数量减一，假设选出的三条边是 $(a,b),(c,f),(e,f)$ 我们要使得 $dis(a,b)=dis(c,f)=dis(e,f)$ ，求方案数。

发现三条弦的状态只有五种：

并且满足条件的只有第二个第五个，但是不是特别好算，我们可以算 1,3,4 的，然后用总方案数 $\binom{n}{3}$ 减去就好了。

设 $l_i,r_i$ 分别表示左右两侧的与第 $i$ 条弦不相交的弦的数量。

情况 1 的方案就是 $\sum\limits_{i=1}^n l_i\times r_i$ 。

情况 3，4 我们把它们放在一起计算。发现这两张图的共同点是：

三条弦中有两条满足另外的两条弦一条与其相交，一条与其相离。

同时需要注意每一组有两条弦满足情况因此方案数就是：

$$\displaystyle\dfrac{\sum_{i=1}^n(l_i+r_i)\times(n-l_i-r_i)-1}{2}$$

剩下问题就是对于 $l,r$ 数组的计算了， $(x',y')$ 在 $(x,y)$ 左边并且不相交只会满足下面三个条件之一：

• $x'<x并且y'<x$

• $x'<x并且y'>y$

• $x'>y并且y'>y$

对于 $(x',y')$ 在 $(x,y)$ 右边并且不相交的情况就是 $x'>x并且y'<y$ 。

直接二维偏序解决即可 (code)

AT2389 [AGC016E] Poor Turkeys

一道NOIP模拟23这种远古时代的题目了。

$f_{i,j}$ 表示如果让 $i$ 存活 $j$ 必须从活着的状态到死去的状态。

我们逆推，对于当前扫到的火鸡 $i$ 以及一对不可能同时存活的火鸡 $(x,y)$ 如果此前 $i$ 的存活已经需要两者来死亡了，因为我们是逆推，先执行这个操作，那么 $i$ 一定不会活着的。。

同样的对于 $x,y$ 对于 $i$ 是否需要死亡的状态也就可以转移了。

那么最后答案就是两只鸡的 $f$ 没有交集。 bitset 实现 (code)

AT2673 [AGC018D] Tree and Hamilton Path

哈密顿路不是特别好求，我们尝试着求一下最长哈密顿回路再减去一个最短的路径。

假设一条边所连接的两个联通块大小较小值是 $siz$ 那么大小较小的这一棵子树中的点都会经过这条边，毕竟我们要求最长的哈密顿回路，盗个图：

然后就是如何去除那一条多余的路径了，然而随便选择一条路径是不对的，因为他不一定在我们的最优的哈密顿回路中。

最优解的路径一定经过重心。

因为重心保证了它的所有子树的大小都小于或者等于 $\frac{n}{2}$ 。

我们可以做到每一条路径，都是在重心的两个不同子树中各取一点相连，再盗一个图：

对于只有一个重心的情况就直接选择与重心相连的最短的边删掉，对于有两个重心的情况直接删去他们之间的边就好了。 (code)

AT2705 [AGC019F] Yes or No

假设 $N\ge M$ 显然我们至少会猜对 $N$ 个答案。

把问题抽象到一个二维平面上面，横纵坐标分别为还有多少个 Yes 或者 No 没有出现。

那么每一种答案序列都可以看作是一个以 $(N,M)$ 为起点只可以向下或者向左走的序列，总方案就是 $\binom{N+M}{N}$

我们的问题件就变成了对于经过 $y=x$ 这条线的答案序列我们蒙对答案的概率。

显然答案是 Yes 或者 No 是等价的，那么对于一个点 $(i,i)$ 而言，经过它的方案数就是 $\binom{2\times i}{i}\times\binom{n+m-2\times i}{n-i}$ 。

最后再除以一个总方案数就好了 (code)

AT3857 [AGC020C] Median Sum

只能说代码实现难度为 0 。

bitset 实现一个背包，假设物品总和是 $cnt$ 对于任意的一个可以构成的 $x$ ， $cnt-x$ 也一定是存在的，直接从 $\dfrac{cnt}{2}$ 扫就好了。(code)

AT2363 [AGC012C] Tautonym Puzzle

构造题。

我们可以把序列分成两部分，先在后面插入 $1\sim cnt$ 的升序排列，然后尝试在前面构建一个 $1\sim n$ 的排列。

那么题目所要求的东西就变成了前半个序列的上升子序列的个数。

考虑从小到大填数，在前面填一个数的贡献是 $+1$ 在后面加一个数的贡献是 $\times 2$ 直接递归处理即可 (code)

CF383C Propagating tree

树链剖分大板，直接对于深度的奇数或者偶数开两个树状数组维护，分别给不同的符号就好了。 (code)

P4514 上帝造题的七分钟

二维树状数组维护区间加，区间求和。。

也是维护一个差分数组，操作类似于一维上的情况，需要维护常数项 , x 项， y 项，以及 xy 项。(code)